逻辑代数与化简¶

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基本逻辑运算¶

与运算¶

决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生

逻辑表达式

$Y=A\cdot B$或$Y=AB$
与运算也叫做逻辑乘运算

或运算¶

决定某一事件的诸多条件中，只要有一个或一个以上具备时，该事件就会发生

逻辑表达式

$Y=A+ B$

非运算¶

决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生

逻辑表达式

$Y=\bar A$

复合逻辑运算¶

与非运算（NAND）¶

或非运算（NOR）¶

异或运算（Exclusive-OR）¶

同或运算（Exclusive-NOR）¶

与或非运算（AND-OR-INVERT）¶

国标和美国标准一定要记下来，曾用标准不用管

逻辑代数的基本定律及规则¶

逻辑代数的基本定律¶

等式$A+BC=(A+B)(A+C)$的证明

逻辑代数的常用公式¶

吸收律¶

冗余律¶

公式$\overline {A \overline B+\overline AB}=\overline A\overline B+AB$的证明&记忆

$A$与$\bar A$不变，剩余的因子各自取反

关于异或运算¶

逻辑代数的基本规则¶

代入规则¶

将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立

利用代入规则能扩展基本定律的应用

反演规则¶

对任一个逻辑函数式$Y$，将式中所有的“$\cdot$”换成“+”，“+”换成“$\cdot$”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数$\overline Y$

变换时注意

不能改变原来的运算顺序
原变量变成反变量，反变量换成原变量只对单个变量有效，而对长非号保持不变
求逻辑函数的反函数有两种方法：利用反演规则或摩根定律均可（二者本就是等价的）

对偶规则¶

了解即可（用处不大）

对任一个逻辑函数式$Y$，将式中所有的“$\cdot$”换成"+"，“+”换成“$\cdot$”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到原逻辑函数的对偶式${Y}' $

变换时注意

不能改变原来的运算顺序
变量上的非号均保持不变

逻辑函数的表示方法及其转换¶

逻辑函数的建立¶

设计逻辑电路的基本原则是使电路最简，故这题应选择右边的电路（或者用同或门）

逻辑函数的表示¶

逻辑函数是用以描述数字逻辑系统输出与输入变量之间逻辑关系的表达式

$Y=F(A,B,C...)$

A、B、C代表输入量，Y代表输出量，F代表逻辑关系
逻辑函数由与、或、非3种基本逻辑运算构成
逻辑函数常采用逻辑表达式、真值表、卡诺图、逻辑图和波形图来表示

逻辑表达式¶

表示输出函数和输入变量逻辑关系的表达式，称逻辑表达式，简称逻辑式

逻辑表达式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出

常见表示形式¶

转换方式：¶

与-或转换为与非-与非式$\longrightarrow$两次取反

逻辑函数的标准表达式¶

最小项¶

定义：在逻辑函数中，如果一个与项（乘积项）包含该逻辑函数的全部变量，且每个变量以原变量或反变量形式只出现一次，则称该与项为最小项。对于n个变量的逻辑函数共有$2^n$个最小项

最小项性质

对于变量的任一组取值，只有一个最小项的值为 1
不同的最小项，使其值为 1 的那组变量取值也不同
对于变量的同一组取值，任意两个最小项与的结果为 0
对于变量的同一组取值，全部最小项逻辑或的结果为 1

最小项编号¶

最小项用$m_i$表示，通常用十进制数作最小项的下标编号$i$

编号方法

将最小项中的原变量当作 1，反变量当作 0，则得一组二进制数
其对应的十进制数便为最小项的编号$i$
eg： $\bar ABC$即为 011，对应十进制为 3，编号为$m_3$
反过来看：$m_5$即为 5，对应二进制为 101，即为$A\bar BC$

最小项表达式¶

也称标准与或表达式

任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，都可以表示成为最小项之和的形式

在与或表达式中，有时与项并不是最小项，可利用$\bar A+A=1$的形式补充缺少的变量，将逻辑函数变成最小项之和的形式

最大项¶

定义其实和最小项类似，只不过是相加项

最大项性质

每个最大项都与变量的唯一的一个取值组合相对应，只有该组合使这个最大项取值为0，其余任何组合均使该最大项为1
全体最大项之积（相与）为0
任何两个最大项之和（相或）为 1
只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变量之和

最大项的编号¶

注意

在相或运算中，与相或运算对应，只有当A=B=C=0时，F才等于零，因此0才是相或运算的唯一（或者说特殊值）
最大项各变量的取值是与最小项相反的，即 A对应0，$\overline{A}$对应1

如果0和1不互换，我们可以得到如下表格：

对于最大项$\bar{A}+\bar{B}+\bar{C}$，输入000获得的值“1”并不是那个唯一值。输入111才得到了唯一值“0”

更底层来看

对于与运算，1是特殊的，因此表达式要向1靠拢
对于或运算，0是特殊的，因此表达式要向0靠拢

最小项与最大项之间的关系¶

我们需要的不仅仅是把每个最大项表达出来，而是要寻找最大项与最小项的关系，以便灵活地运用

如图，对于一个三个变量的函数F（A，B，C），我们可以得出（重点记这个就好了）

\[ \large F=\Sigma m_{红色小块块}（最小项）=\Pi M_{蓝色小块块}（最大项） \]

什么？你想知道为啥？那就点开这个吧

我们可以通过如下转换（即“万能”的摩根定律）得到二者之间的关系：

经过上述推导，我们可以得出，$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$对应的不是$\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}$，而是$A+B+C$，并以此类推

因此，最大项与最小项这两个表格每一个位置都是等价的，而在这种等价转化之下，000代表$A+B+C$，也就是A=0，而$\overline{A}=1$

正是因为这种等价关系，每一个取值组合都对应两个表达式

如101，对于最小项，它对应着 $A\bar{B}C$；对于最大项，它对应着 $\bar{A}+B+\bar{C}$

在卡诺图中，这两个表达式也对应着同一个方格。因此，对于同一个方格，我们有两种解读，对于同一张表格，我们也可得出这两种表达式。只不过对于与或表达式，我们关注的是“1”，读取的也是“1”所对应的最小项；对于或与表达式，我们关注的是“0”，读取的也是“0”所对应的最大项。又因为1和0处在不同的方格内，因此在标准与或表达式中出现的最小项编号不会在其标准或与表达式的最大项编号中出现，二者的编号总是互补的

我们可由此得出最大项与最小项的转换关系式。同样的，我们也可以通过公式推导出来这一结果：

逻辑函数可以表达成最小项之和或者最大项之积，其实这俩是等价的，只不过最小项用得较多而已

省流

其实最大项用得不是很多，所以可以直接记这个
假设题目让你化简$Y=\prod M(1,3,4,6,7,9,11,12,14,15)$
那么就直接转换为化简$Y=\sum m(0,2,5,8,10,13)$（找补集即可）

真值表¶

列出输入变量的各种取值组合及其对应输出逻辑函数值的表格称为真值表

真值表能直观反映输出、输入变量的逻辑关系，在分析和设计数字电路时都要列写真值表

列真值表的方法¶

列真值表的方法

按n位二进制数递增的方式列出输入变量的各种取值组合
分别求出各种组合对应的输出逻辑值填入表格

真值表反求逻辑表达式的方法¶

真值表反求逻辑表达式的方法

找出 函数值为 1 的项
将输入变量取值为 1 的用原变量代替，取值为 0 的用反变量代替，即得到一系列与项
将这些与项相加即得逻辑表达式

逻辑图¶

由逻辑符号及相应连线构成的电路图

逻辑图一般根据逻辑式画出，将各级逻辑运算用相应的门电路实现

波形图¶

输入变量和对应的输出变量随时间变化的波形

画波形图时需要注意，横坐标是时间轴，纵坐标是变量取值，由于变量取值只有 0 和 1 ，一般在途中不用标出坐标轴，但输入、输出变量要对应画出

从逻辑表达式画出波形图¶

逻辑函数的化简¶

逻辑函数化简的意义与标准¶

意义：使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，从而节省元件、优化生产工艺、降低成本和提高系统可靠性

不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取最简与或式，然后通过变换得到所需最简式

最简与或式¶

乘积项（即与项）的个数最少，使与门个数最少
每个乘积项中的变量数最少，使与门的输入端数最少

最简与非-与非式¶

和最简与或式之间的转换$\longrightarrow$两次取反，拆掉下面一个非号

非号个数最少，使与非门个数最少
每个非号中的变量数最少，使与非门的输入端数最少

逻辑函数的公式化简法¶

运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑表达式进行化简

并项法¶

运用$AB+A\overline B=A(B+\overline B)=A$，将两项合并为一项，并消去一个变量

吸收法¶

运用$A+AB=A(1+B)=A$和$AB+\overline AC+BC=AB+\overline AC$，消去多余的与项

运用$A+AB=A(1+B)=A$

运用$AB+\overline AC+BC=AB+\overline AC$（开心消消乐）

一个与项里面有原变量，另一个与项里面有反变量，剩余的因子构成了冗余项

第一项和第二项里面有$A$和$\overline A$，剩余的因子构成了$BC$项也就是第六项，故第六项为冗余项

第二项和第三项里面有$C$和$\overline C$，剩余的因子构成了$A\overline B$项也就是第四项，故第四项为冗余项

第一项和第三项里面有$B$和$\overline B$，则$\overline A \overline C$同样是多余的，可以去掉

当然也可以从后面几项消前面几项，一样的道理，但是结果是下面这个

逻辑函数的化简结果不唯一，可通过真值表说明二者是否一致

消去法¶

运用$A+\overline AB=A+B$或$\overline A+AB=\overline A+B$，消去多余因子

没有头绪时记得多用摩根定律进行合并与拆项

配项法¶

在函数某一项乘以$A+\overline A=1$，将一项展开两项，或利用$AB+\overline AC=AB+\overline AC+BC$，增加冗余项$BC$

用公式法自然会有这样的问题，直观性不强。后面用卡诺图化简就有更强的直观性了，能直接看出是否化为最简。不急，我们先来看看$Y_2$的法2：

化简结果也不唯一！所以考试的时候要相信自己hhh

公式法化简思路

最开始先看能不能找到公共部分
- 找到公共部分后，能否一个是原变量一个是反变量相或，或者剩下部分有个 1 的
如果没有公共部分不能和？能不能拆！用摩根定律拆掉
又不能和又不能拆？添加冗余项！

综合应用，再来点例子¶

多用冗余项这一“工具人”

但是确实反映出一个问题，就是使用公式法化简有时很难判定结果是否为最简，不够直观，且看卡诺图

逻辑函数的卡诺图化简¶

最小项卡诺图的组成¶

相邻最小项
- 两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。
- 相邻最小项的特点：
  - 两个相邻最小项相加可合并为一项，消去互反变量；
  - 比如：$ABC+AB\overline C=AB(C+\overline C)=AB$
卡诺图的组成
- n个变量，有$2^n$个最小项，每个最小项都要用 1 个小方格表示
- 按循环码(也就是Gray码)的编码顺序排列，这是关键，使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻

二变量卡诺图¶

顺时针就是按照循环码的顺序来写的

构造循环码（即Gray码）的方法——假想有一个平面镜，对称后上方补 0 下方补 1

三变量卡诺图¶

四变量卡诺图¶

下面这个格子中对应的数字我感觉可以记忆一下，记住了就会快很多

卡诺图中的相邻项（几何相邻）

已知最小项如何找相应小方格？如何写出卡诺图方格对应的最小项

再往上像什么五变量卡诺图就基本上不用了，如果真有五个以上的变量，可以考虑先用公式法稍微化简一下消去几个变量后，再用卡诺图

用卡诺图表示逻辑函数¶

基本步骤

求逻辑函数的真值表、标准或一般与或式
根据变量的个数画出变量卡诺图
根据真值表、标准或一般与或式填卡诺图

已知真值表画卡诺图¶

较为简单，毕竟卡诺图就是一个变相的真值表

已知逻辑函数画卡诺图（标准与或式）¶

一般的与或式画卡诺图¶

非标准与或式——找交集

一项一项来找，填上 1 ，如果填过 1 了就不用再填了

用卡诺图化简逻辑函数¶

公式化简法
- 优点：对变量个数没有限制
- 缺点：需要技巧，且不容易判断是否为最简式
卡诺图法
- 优点：简单、直观，且有一定的步骤和方法，容易判断结果为最简式
- 缺点：适合变量个数较少的情况，一般用于四变量及四变量以下函数的化简

化简依据¶

原理即是卡诺图的相邻性，对相邻最小项进行合并，消去互反变量，以达到化简的目的

化简规律¶

2个小方块相邻（包括处于同一行或同一列的两端）有 1 个变量相异，相加可以消去这 1 个变量，合并成一项

“背靠背”式的相邻

消异存同

其实就是一种更快判断，不用写出最小项相加的方法
在上述例子中，$ABC$取值分别为000与001
- A的取值相同且为0，保留为反变量$\bar A$
- B的取值相同且为0，也保留为反变量$\bar B$
- C的取值不同，那么直接消去
- 则结果为$\bar A \bar B$

处于同一行或同一列的相邻

主要就是要注意一下卡诺圈怎么画，和“背靠背”式的相邻一样的

4个小方块组成一个大方块，或组成同一行/列，或组成两行/列的两端，或处于四角，可以合并，消去2个变量

8个小方块组成两行/列，或组成两边的两行/列，可以合并，消去3个变量

卡诺图化简法的步骤¶

卡诺图化简法的步骤

画出函数的卡诺图，并填入
画卡诺圈，将相邻(上述3种化简规律都是相邻的)的“1”方格按$2^n$(一般就是1、2、4、8)圈为一组，直到所有的“1”被圈完
- 一般就是从大到小来化简
- 先看有没有8个1的？圈完了全部8个1的再看4个1的，同理再看2个1的，最后再把孤立的1圈出来
将各卡诺圈分别化简
再把这化简的结果逻辑加

标准的逻辑函数