Chapter 2 解析函数¶
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复变函数¶
复变函数¶
\(w=f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)\)
极限¶
\(\lim\limits_{z\rightarrow z_0}f(z)=A\ \Leftrightarrow\) \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0,y\rightarrow y_0}u(x,y)=u_0,\lim\limits_{x\rightarrow x_0,y\rightarrow y_0}v(x,y)=v_0\)
连续¶
\(\lim\limits_{z\rightarrow z_0}f(z)=f(z_0) \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0 ~\exists~δ(ε)>0\),当\(0<|z-z_0|<δ时,|f(z)-f(z_0)|<ε\)
$\Leftrightarrow $ 对应的实函数u,v分别连续(左极限=右极限=\(f(z_0)\))
在闭区域\(\overline G\)中连续的函数有两个重要性质
- \(|f(z)|\)在\(\overline G\)中有界,并达到它的上下界
- \(f(z)\)在\(\overline G\)中一致连续,即对于任意 ε>0,存在与z无关的\(δ(ε)>0\),在\(\overline G\)中的任何两点\(z_1,z_2\),只要满足\(|z_1-z_2|<δ\),就有\(|f(z_1)-f(z_2)|<ε\)
若两函数在\(z_0\)连续,则其\(+,-\times,\div\)(分母\(\ne 0)\)复合运算后,在点\(z_0\)仍连续
求导¶
\(f'(z_0)=\lim\limits_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}\)
导数的可视化
可导的定义是:函数f(z)在 \(z=z_0\) 这一点可导,则 \(f'(z_0)=\lim_{\Delta z\to0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}\) 存在
导数如何进行可视化呢?我们画一个例子来看看:
如图所示,我们观察f(z)的一个点 \(z=z_0\) 及其映射之后的状况。蓝线和绿线分别是通过该点 \(z_0\) 的直线,经过映射之后可能会变成曲线
让这个邻域足够小,则经过这一点的光滑曲线可以近似为直线。自变量的微分 \(\Delta z\)就是从点 \(z_0\) 往任意方向走一个微小距离对应的复数,相应地,应变量的微分 \(\Delta f=f(z_0+\Delta z)-f(z_0)\) 是从点 \(f(z_0)\) 往相应方向走一个相应距离对应的复数,如图所示:
f(z)在 \(z_0\) 可导,即 \(f'(z_0)=\lim_{\Delta z\to0}\frac{\Delta f}{\Delta z}\) 存在。根据极限的唯一性,我们知道 \(\Delta z\) 不论往任何方向走, \(f'(z_0)\) 的值都是唯一的
复数的除法有运算法则 \(\frac{z_2}{z_1}=\frac{r_2}{r_1}\angle(\theta_2-\theta_1)\) ,即模长相除,辐角相减。因此
\(\frac{\Delta f}{\Delta z}=\frac{|\Delta f|}{|\Delta z|}\angle(\mathrm{Arg}\Delta f-\mathrm{Arg}\Delta z)\)
如果 \(f'(z_0)\neq0\) ,则 \(\mathrm{Arg}f'(z_0)=\lim_{\Delta z\to0}(\mathrm{Arg}\Delta f-\mathrm{Arg}\Delta z)\)和 \(|f'(z_0)|=\lim_{\Delta z\to0}\frac{|\Delta f|}{|\Delta z|}\) 都是定值,我们称这两个量分别为转动角和伸缩率,如下图所示:
也就是说,如果一个函数f(z)在z处可导且导数不为0,那么z附近的微小邻域在经过映射f之后,大约会整体旋转 \(\mathrm{Arg}f'(z_0)\) 的角度,并放缩为原来的 \(|f'(z_0)|\) 倍。这就是复变函数导数的几何意义
根据上述结论,如果函数f(z)在某个区域解析,则这个区域中的任意两条直线(例如图2中的蓝线和绿线)在经过映射f之后会保持夹角不变(除导数为0的情况),我们称此时f(z)具有保角性。保角性加伸缩率不变性称为保形性。因此,复变函数在某个区域解析,则可推出其在这个区域具有保形性
如图是个展现函数 \(f(z)=z^2\) 具有保角性的直观的动图:
复变函数的实部函数与虚部函数
复变函数不仅可以记为f(z). 因为自变量和应变量都是复数,我们可以用复数的坐标形式(即x+yi这种形式)来表示它们,并研究它们的性质
我们记自变量z=x+yi,函数值f(z)=u+vi,其中x, y, u, v均是实数。用x与y的值可以决定z的值,继而决定f(z)的值,继而决定u与v的值,因此在确定复变函数f(z)的情况下,u和v都是关于x和y的实二元函数,那么f(z)就可以记为f(z)=u(x, y)+v(x, y)i. 我们称u(x, y)和v(x, y)分别是f(z)的实部函数和虚部函数
如图是实部函数与虚部函数的几何意义:
如果f(z)可导,二元函数u和v会有什么性质呢?
可微性
如图所示,自变量z有增量 \(\Delta z=\Delta x+i\Delta y\),应变量f也有相应的增量 \(\Delta f\) . 如果f'(z)存在,有
\(\begin{align} \Delta f&=f'(z)\Delta z+o(\Delta z)\\ &=\Delta f_x+\Delta f_y+o(\Delta z)\\ &=\Delta u_x+i\Delta v_x+\Delta u_y+i\Delta v_y+o(\Delta z)\\ &=\Delta u+i\Delta v\\ \end{align}\)
其中 \(\Delta f_x\) 是由 \(\Delta x\) 带来的增量, \(\Delta f_y\) 是由 \(\Delta y\) 带来的增量
记 \(f'(z)=k\angle\theta\) ,即k为伸缩率, \(\theta\) 为转动角,根据保形性,可得
\(\Delta f_x=\Delta x\times k\angle\theta=k\Delta x\angle\theta=\Delta x f'(z)\)
\(\Delta f_y=i\Delta y\times k\angle \theta=k\Delta y\angle\left(\theta+\frac\pi2\right)=i\Delta yf'(z)\)
记 \(\rho=|\Delta z|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\) ,可得
其中符号 \(\Re\) 表示取实部(相当于Re),符号 \(\Im\) 表示取虚部(相当于Im)
因此,根据二元函数可微的定义,u和v都具有可微性
微积分回忆内容¶
连续、可导和可微¶
-
偏导数存在且偏导数连续,一定可微
-
可微一定可导,可导不一定可微
-
一般看不可导:沿着两条不同方向线趋近某点,不一样推出矛盾
解析性¶
定义
- \(f(z)\)在\(z_0\)的某个邻域内的每一点可导 \(\Leftrightarrow\) \(f(z)\)在\(z_0\)点解析/正则
- \(f(z)\)在区域D内的每一点可导 \(\Leftrightarrow\) \(f(z)\)在区域D内解析/正则
- \(\Leftrightarrow\) \(f(z)\)在D内的任意点\(z_0\)(存在\(z_0\)的一个邻域)处均可展开为收敛的幂级数
- 奇点:不解析的点
- 孤立奇点:\(D(z_0,\delta)\)内的唯一奇点
判别法¶
同时满足
- \(u(x,y),v(x,y)\)在\((x,y)\)点的邻域内(或D内)可微
- Cauchy-Riemann条件(C-R条件)
C-R条件¶
柯西-黎曼方程
根据二元函数微分的性质,可得
\(\Re f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},~\Im f'(z)=\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}\)
于是我们称 \(\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}\\ \end{cases}\) 为柯西-黎曼方程(Cauchy-Riemann Equations),简称为C-R方程
实际上,可以证明:两个可微二元实函数u(x, y)和v(x, y)构成的复变函数f=u+vi在区域D内解析的充要条件是u和v在D内满足C-R方程
C-R方程可以更轻松地导出,便于记忆
如图所示,指定 \(\Delta z\) 为沿着x轴(图8左)和沿着y轴(图8右)的两个特殊方向。当 \(\Delta x=\Delta y\) 时,根据保形性,两个紫色直角三角形近似全等,于是
\(\Delta u_x\approx\Delta v_y,~\frac{\Delta u_x}{\Delta x}\approx\frac{\Delta v_y}{\Delta y}\)
取 \(\Delta x=\Delta y\to0\) 的极限即可得到 \(\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\) . 同理可得 \(\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}\)
注意,本例中 \(\Delta u_y\) 是负的,故计算三角形边长的时候要加个负号。当 \(\Delta f\) 取其他方向的时候可以类似讨论
为什么C-R方程里面有个负号?为什么函数u和v不是对称的?
直观上来说,C-R方程的基础是复变函数的保形性,其中包括旋转不变性。而旋转对称本身就不是关于x和y坐标对称的。旋转在复数中可用乘法来表示,任何一个复数乘以实数单位元1会停留在原处,而乘以虚数单位元i则会绕原点正向旋转 \(90^\circ\) ,这就是旋转关于坐标轴的不对称性的一个体现
对于解析的复变函数而言,u是实部函数,而v是虚部函数,因为x和y坐标旋转不对称,它们自然也不对称
相对地,关于x和y坐标对称的变换,是关于直线y=x轴对称的这种形式
注意
- 如果满足条件的是孤立的点,那么只能说\(f(z)\)在该点上可导,而不解析
- 解析函数的复合函数(加、减、乘、除等解析函数)仍为解析函数
- 反函数解析法则:设\(w=f(z)\)在区域D内单叶解析,\((f^{-1}(w))^{\prime}=\frac{1}{f^{\prime}(z)}=\frac{1}{f^{\prime}[f^{-1}(w)]}\)
单叶函数:在区域D上解析的单值复变函数\(f(z)\),若对D中任意不同的两点\(z_1,z_2\),有: \(f(z_1)\neq f(z_2)\),则说f(z)为D上的单叶函数
- \(f(z)=\bar{z}\) 处处不可微,处处不解析
解析函数 \(f(z)\) 退化为常数的充分条件
- 若\(f(z)\)在D上解析,且满足以下条件之一:
- 导数恒为0
- 解析函数的实部、虚部、幅角、模中有1恒为常数
- \(\overline{f(z)}\) 在D上解析 则\(f(z)\)在D内恒为常数
- 另若\(f(z)\)在整个复平面解析,见柳维尔定理解析性
小结
函数 f(x) 在区域D解析的等价条件有:
- 函数 f(x) 在区域 D内可导
- Re(f),Im(f)在区域D内可微且满足Cauchy-Riemann条件
- 函数 f(x) 在区域 D内连续且积分与路径无关
- 函数 f(x) 在区域 D内可展开为幂级数
调和函数¶
定义¶
如果实函数 $U\left ( x,y \right ) $ 在区域\(D\)内有二阶连续偏导数并满足拉普拉斯方程 \(\Delta U=\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2} }+ \frac{\partial^{2} U}{\partial y^{2} }=0,inD\) ,则称 \(U\left (x,y \right )\) 为D内的调和函数
定理¶
\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\) 是区域 \(D\) 内的解析函数则 \(u(x,y),v(x,y)\) 在 \(D\) 内均为调和函数
常见初等函数¶
全部初等函数(多项式函数、指数函数、三角函数、对数函数、幂函数……)在相应的定义域上都是解析的
指数函数¶
\(\Large w=e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)\)
求导等同实指数函数:
\(\left ( e^{z} \right )^{\prime}=e^{z}\) (\(dz = d(x+iy\)))
在整个复平面上处处解析
$e^{z} $为指数函数,则
- \(e^{z+w}=e^{z}\cdot e^{w}\)对所有 $z,w\in \mathfrak{C} $ 成立,所以 $\left ( e^{z} \right ) ^{n} =e^{zn} $
- \(e^{z}\ne 0\)如果z=x为实数,当$x> 0,e^{z}>1 ,x< 0,e^{z}<1 $
- \(e^{z}\)是周期函数,其周期\(T = 2n\pi i\)(n为整数,\(n \ne 0\))
- \(e^{\frac{\pi}{2}i} =i,e^{\pi i} =-1,e^{\frac{3\pi}{2}i} =-i,e^{2\pi i} =1\)
- \(e^{z}=1\)的充分必要条件是\(z = 2n\pi i\)(n为整数)
对数函数¶
\(\Large w=Ln z=lnz+i2k\pi=ln|z| + i Arg z=(ln|z|+iargz) +2ki\pi\)
\(\Large =ln|z|+i(argz +2k\pi)\)
对数函数 \(Ln z\) 是多值函数,有无穷多个分支,k=0时的分支称为对数函数的主支,记: \(Lnz=ln|z|+iargz\) 为对数函数主支
显然,\(Lnz=lnz+i2k\pi\)
基本性质
- \(Ln(z_1z_2)=Lnz_1+Lnz_2\)
- \(Ln(\frac{z_1}{z_2})=Lnz_1-Lnz_2(z_2\neq0)\)
- 在原点和负实轴上不解析
- \(Ln(z)^{\prime}=\frac{1}{z}\)
幂函数¶
\(\Large w=z^\mu=e^{\mu Ln\ z}=e^{\mu ln\ z}·e^{2k\pi \mu i},\mu \in C\)
幂函数的求导公式:\((z^\mu)^\prime=\mu z^{\mu-1}\)
\(w=z^a\) 的多值性
- \(a\) 为整数——单值函数(左因式为主值,右因式为定值1)
- \(a\) 为 \(p/q\)——有限值函数;特别地,\(a\) 为 \(1/n\) —— \(n\) 值函数
- \(a\) 为无理数/虚部不为0的复数——无穷多值
在原点和负实轴上不解析(可以看作指数函数和对数函数的复合函数)
三角函数和双曲函数¶
- \(\Large \sin z =\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\)
- \(\Large \cos z =\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\)
- \(\Large sh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2}\)
- \(\Large ch z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}\)
在整个复平面上处处解析(可以看作指数函数的复合函数)
和角公式
- \(\Large ch(a+b)=cha\ chb+sha\ shb\)
- \(\Large sh(a+b)=sha\ chb+cha\ shb\)
性质
- \(\sin z,\cos z\)是以\(2\pi\)为周期的周期函数;\(sh z,ch z\)是以\(2\pi i\)为周期的周期函数
- \(\sin z,sh z\)为奇函数;\(\cos z,ch z\)为偶函数
- 一些恒等式仍然成立:
- 具体需要额外注意的是:
- \(ch^{2}z - sh^{z} = 1, sh z + ch z = e^{z}\)
- \(sh(z_{1} +z_{2})=sh z_{1}ch z_{2}+ ch z_{1}sh z_{2}\)
- \(ch(z_{1} +z_{2})=ch z_{1}ch z_{2}+ sh z_{1}sh z_{2}\)
- 具体需要额外注意的是:
- 与三角函数的关系:
- \(sh\ iz=isinz\)
- \(ch\ iz=cosz\)
- \(sin\ iz=ishz\)
- \(cos\ iz=chz\)
- \(|\sin z|\ |\cos z|\)不是有界函数