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Chapter 1 预备知识

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复数基本知识

复数的三种表示方法

\(z=x+iy=re^{i\theta}\)

复数相等

实部和虚部都相等

\(r=\sqrt{x^2+y^2}=|z|\)

辐角

\(\ \theta=Arg\ z = arg\ z +2k\pi\); 是一个集合,每个元素相差 \(2\pi\)

其中在\((-\pi,\pi]\)\(\theta _{0} \ =\ arg \ z\) 称为辐角主值

辐角主值

  • \(\theta _{0} \ =\ arg \ z \in(-\pi,\pi]\)
  • \(arg\ 0,arg\ \infty\) 无意义
  • 辐角主值可以直接看成平面上的点的对应角,而\(arctan\ \frac{y}{x}\)\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)不行。所以二者有一个类似于分段函数的对应关系式

欧拉公式

\(\Large e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)


复数的运算

复数的加减法——向量的加减法

乘法

模长相乘,辐角相加

  • \(|z_1z_2|=r_1r_2=|z_1||z_2|\)
  • \(Arg\ z_1z_2=Arg \ z_1+Arg \ z_2\)

除法

模长相除,辐角相减

  • $\left |\frac{z_{1} }{z_{2} } \right | = \frac{\left |z_{1} \right | }{\left |z_{2} \right |} $
  • \(Arg\frac{z_1}{z_2} =Arg \ z_1-Arg \ z_2\)

\(de Moivre\)公式

  • \(\left ( \cos\theta + i\sin \theta \right ) ^{n} \ = \ \cos n\theta + i\sin n \theta\)

乘方

\(\Large z^{n}=r^{n}(\cos n \theta+i \sin n \theta)\ =\ r^{n}e^{in \theta }\)

开方

\(\Large ^n\sqrt{z}=^n\sqrt{|z|}e^{i\frac{argz+2k\pi}{n}}\ \ k=0,1,\cdots,n-1\)

k只取0到n-1的n个值,这是因为k取其他整数时,得到的值必是上述n个值的重复出现


复变函数的可视化

由于定义域和值域都是二维的,用一幅类似实函数的静态图像完整绘制复变函数需要四维的空间,这是很难理解的。我们换一种方式来可视化复变函数。

复数可以画在复平面上,我们让自变量慢慢移动到应变量的位置,可以绘制出一幅动画。比如说函数 \(f(z)=z^2\) 的图像如图1所示:

动图封面

我们知道,根据复数乘法的运算法则,若 \(z=r\angle\theta\) ,则 \(z^2=r^2\angle2\theta\) ,你在图中也能看到这种对应关系。图中使用辐角主值\(\theta\in(-\pi,\pi]\)