电子电路基础网站习题集萃¶
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电路的等效变换部分¶
核心知识要点¶
电路的等效计算
电路等效计算:即输入电阻/等效电阻计算(针对一端口网络)
- 若仅含电阻,等效化简即可
- 若==含受控源,但不含独立源==,施加电压求电流,或者施加电流求电压
- 若==含独立源==,则先将其 turn off(电压源短路,电流源开路),再计算
Y-Δ等效变换
Y-Δ等效变换 * \(\Delta\) to Y: \(\Large \frac{相邻之积}{周长之和}\) * Y to \(\Delta\): \(\Large \frac{两两相乘之和}{对面电阻}\) * \(\Delta\) 阻值比较大,更像并联;Y 阻值比较小,更像串联;当阻值相等时,\(\Large R_{\Delta} = 3R_Y\)
题目精选¶
下图所示电路的等效电路为 ________ 。
A
与理想电压源并联的电阻无效(因为电压恒定,电流不定,所以并联无效),故第一步简化为理想电压源和理想电流源串联;与理想电流源串联的元件无效(因为电流恒定,电压不定,所以串联无效),故第二步简化为单个的理想电流源,所以答案为A
下图所示电路中,电压 U 为 ________ 。
A. \(4V\)
B.\(5V\)
C. \(6V\)
D. \(3V\)
C
对中间右边节点列\(KCL\),则(6-U)/5 + 6 = U/1,解得U= \(6V\)
这题主要是如何找到合适的节点列\(KCL\)
求下图所示电路中电流 \(I_1\) 和 \(I_2\) ,并计算各电源的功率,同时判断该电源是吸收还是发出功率。
方法一:(暴力列\(KCL\)与\(KVL\)求解)
根据各电流量之间的关系、18 V 和 20 V 电压源在负载上的电压降关系,以及左侧大回路的回路电压降关系,列方程组如下: $$ \Large \begin{cases} I_1+I_3+I_4=0 (左上节点KCL)\ I_1+2=I_2 (右上节点KCL)\ I_4=I_5+I_6 (最左节点KCL)\ I_5=\frac{18}{2} (欧姆定律)\ (-I_3×3)+I_1×3+I_2×4=20 (中间loop KVL)\ I_4×6+I_5×2=I_3×3 (最左loop KVL) \end{cases} $$ 解得: $$ \Large \begin{cases} I_1=2A\ I_2=4A\ I_3=\frac{2}{3}A\ I_4=-\frac{8}{3}A\ I_5=9A\ I_6=-\frac{35}{3}A \end{cases} $$
20 V 电压源的功率为: \(P=(2-I_2)×(20V)=-40W\) ,发出功率(关联参考方向)
2 A 电流源的功率为: \(P=(-2A)×U=(-2A)×(I_2×4Ω+5Ω×2A)=-52W\) ,发出功率(关联参考方向)
18 V 电压源的功率为:\(P=18V×I_6=-210W\) ,发出功率(关联参考方向)
方法二:(等效电路法)
(1) 等效电路(求==\(I_{1}\)==,确保\(I_{1}\)所在支路不被等效)
- 第一步:电流源串联电阻无效
- 第二步:电流源并联某个电阻等效于电压源串联某个电阻(电阻大小不变,\(U=IR\))
- 第三步:电阻并联等效
- 第四步:电流源并联某个电阻等效于电压源串联某个电阻(电阻大小不变,\(U=IR\))
得:\(I_1=\frac{6+20-8}{2+3+4}=2A\)
20 V 电压源的功率为 \(P=-20V×2A=-40W\) ,发出功率
(2) 等效电路(求==\(I_{2}\)==,确保\(I_{2}\)所在支路不被等效)
- 第一步:电流源并联电阻无效
- 第二步:电压源串联某个电阻等效于电流源并联某个电阻(电阻大小不变,\(U=IR\))
- 第三步:电阻并联等效
- 第四步:电流源并联某个电阻等效于电压源串联某个电阻(电阻大小不变,\(U=IR\))
- 第五步:电压源串联等效
- 第六步:电压源串联某个电阻等效于电流源并联某个电阻(电阻大小不变,\(U=IR\))
得:\(I_2=\frac{5}{5+4}×(5.2+2)=4A\)
原电路 \(U=5×2+4×4=26V\)
2 A 电流源的功率为 \(P=(-2A)×26V=-52W\) ,发出功率
(3) 18 V 电压源的功率为
\(∵3×2+4×4-20-3I_3=0,∴I_3=\frac{2}{3}A\) (已知\(I_{1}\)\(I_{2}\)求\(I_{3}\))
\(∵I_4=-(2+\frac{2}{3})=-\frac{8}{3}A ,I_5=\frac{18}{2}=9A\) (\(I_{4}\)由\(KCL\)求得,\(I_{5}\)由欧姆定律求得)
\(∴I_6=I_4-I_5=-\frac{8}{3}-9=\frac{-35}{3}A\)
\(∴P=18V×I_6=18×(-\frac{35}{3})W=-210W\) ,发出功率
欲使下图所示电路中的支路电流 \(I\) = 1 A,试求电流源的输出电流 \(I_S\) 。
\(V_{ca}=1Ω×1A=1V,V_{cb}=V_{ca}+V_{ab}=1+2=3V,I_{cb}=\frac{V_{cb}}{1Ω}=3A\)
\(I_{dc}=I+I_{cb}=1+3=4A,V_{da}=V_{dc}+V_{ca}=(I_{dc}×1Ω-2V)+V_{ca}=3V\)
\(I_{da}=\frac{V_{da}}{3Ω}=1A,I_s=I_{da}+I_{dc}=1A+4A=5A\)
由果索因,循序渐进
如下图所示电路,支路电流 \(I\) 的值为 ________ 。
3 A
上方两个电阻分流,流过\(2\Omega\)的电流为\(9A\);下方两个电阻分流,流过左边\(3\Omega\)的电流为\(6A\),所以\(I=3A\)
这个分流角度去考虑这种电流源的问题还是很有意思的
下图所示的电路中的 \(i_a=4{\rm A}\),\(i_b=-2{\rm A}\),求:
(1) 电流源的输出电流 \(i_g\);
(2) 30 Ω 电阻上消耗的功率;
(3) 100 V 电压源提供的功率。
(1)
\(\Large v_2=100+4\times15=160{\rm V}\)(基本的欧姆定律)
\(\Large v_1=160-(9+11+10)\times2=100{\rm V}\) (绕那个大的loop)
\(\Large i_1=\frac{v_1}{4+16}=\frac{100}{20}=5{\rm A}\)(大的求得电压即可求小的电流)
\(\Large i_3=i_1-2=5-2=3{\rm A}\) (最右节点列\(KCL\))
\(\Large v_g=v_1+30i_3=100+30\times3=190{\rm V}\) (求得\(I_{3}\)即可求电压)
\(\Large i_4=2+4=6{\rm A}\) (最左节点的\(KCL\))
\(\Large i_g=-i_4-i_3=-6-3=-9{\rm A}\) (中间节点的\(KCL\))
(2)\(\Large P_{30{\rm \Omega}}=30\times 3^2=270{\rm W}\)
(3)按==关联参考方向==,\(\Large P=100 \times 4=400{\rm W}\),所以电源==吸收功率 \(400 W\)==
求下图所示电路中的支路电流 \(I_1、I_2和I_3\) 。
\(\Delta\) 阻值比较大,更像并联;Y 阻值比较小,更像串联;当阻值相等时,\(\Large R_{\Delta} = 3R_Y\)
\(Z_Y=2Ω\) 变换为 \(Z_Δ=6Ω\)
\(6Ω\) 与 \(1Ω\) 并联得到 \(\Large \frac{6}{7}Ω\)
在 \(Δ→Y\) 转换得到 \(\Large \frac{2}{7}Ω\)
通过叠加定理或者网孔电流法可计算得到: $$ \Large \begin{cases}\frac{2}{7}I_1+\frac{2}{7}I_3=12 \\frac{2}{7}I_2+\frac{2}{7}I_3=30 \I_1+I_2=I_3\end{cases}⇒\begin{cases}I_1=-7A \I_2=56A \I_3=49A\end{cases} $$
求下图中每个电容两端的电压
主要就是抓住串联电容的带电量Q是相等的
电路分析方法部分¶
核心知识要点¶
电路的分析方法
- 网孔电流法
- 以 l 个网孔电流为变量,对 l 个网孔列\(KVL\)方程,求解线性方程组;
- 若含电流源,因电流源两端电压不能确定,故采用超级网孔避开电流源,再列线性方程求解;
- 节点电压法
- 以 n-1 个节点电压为变量,对 n-1 个节点列 n-1 个\(KCL\)方程,求解线性方程组;
- 若含电压源,因流过电压源的电流不能确定,故采用广义节点把电压源包含进来,再列线性方程组求解;
- 叠加定理(线性电路齐次性)
- 线性:齐次性、可加性
- 功率不可直接叠加
- 分别计算每个独立源的贡献(考虑一个独立源时,其他独立源均设为零/turn off),再线性叠加;适用于有多个独立源的线性电路
- 替代定理:保持接口电压或电流不变,用电压源或电流源替代
- 戴维南定理:开路电压 & 等效电阻
- 诺顿定理:短路电流 & 等效电阻
- 最大功率传递定理:
- 对于电阻网络,负载电阻 = 戴维南等效电阻
- 最大功率传输时,效率并不一定等于50%
题目精选¶
使用网孔电流法求解下图中 \(i_1\)、\(i_2\)、\(i_3\)
考虑到独立电流源的存在,将 \(i_1\) 和 \(i_2\) 所在的网孔并作一个==\(supermesh\)==看待。
列网孔电流方程如下:
\(\Large \begin{cases} -8 +2(i_1-i_3)+4(i_2-i_3) + 8i_2 = 0 \\ 2(i_3-i_1)+2i_3+4(i_3-i_2)=0 \\ \end{cases}\)
增补方程 \(\Large i_1-i_2=4\)
联立解得:
\(i_1=\frac{88}{19}{\rm A},i_2=\frac{12}{19}{\rm A},i_3=\frac{28}{19}{\rm A}\)
用节点电压法求下图所示电路中的电压U
最上方三个节点从左往右依次为\(n1\)、\(n2\)、\(n3\),节点4即为最下方的节点
- 第一个方程:电压差
- 第二个方程:\(n2\)节点的\(KCL\)
- 第三个方程:电压差(只不过是受控源)
- 第四个增补方程:欧姆定律
求以下无源单口网络的输入电阻 \(R_i\) 。已知 \(R_1\) = \(R_2\) = \(R_3\) = \(R_4\) = \(R_5\) = 3Ω,\(R_6\) = 1Ω。
方法1:(节点电压法)
选取参考地,并对图中的节点电压进行标记如下:
列节点电压方程如下: $$ \Large \begin{cases} V_1/R_2+(V_1-V_2)/R_5+(V_1-V_3)/R_1=0 (对V_1节点的KCL)\ V_2/R_4+(V_2-V_1)/R_5+(V_2-V_3)/R_3=0 (对V_2节点的KCL)\ V_3=3I×R_6 (V_3节点对地电压) \end{cases} $$ 为简化计算过程,可取 \(I=1 A\)(由果索因)
计算得到: \(\Large V_1=V_2=\frac{3}{2}V,V_3=3V,I_{in}=I+V_1/R_2+V_2/R_4=2A\)
故而输入电阻 \(\Large R_i=\frac{U}{I_{in}}=\frac{V_3}{I_{in}}=\frac{3}{2}Ω\)
方法2:(简化电路)
左边电路用Y-\(\Delta\) 化简,等效为3Ω电阻(也可由电桥,\(R_{5}\)不分流,直接是两个\(6\Omega\)电阻并联)
右边电路令\(I = 1A\), 电压\(=3V\),即右边等效为3Ω,故整体等效电阻为1.5Ω
用节点电压法求下图所示电路的节点电压 \(V_{na}、V_{nb}、V_{nc}和i_x\) 。
方法1:
**设受控电压源流出的电流为 \(i\) ** $$ \Large \begin{cases} \frac{1}{90}V_{na}-\frac{1}{90}V_{nb}=2+i (a点KCL)\ -\frac{1}{90}V_{na}+(\frac{1}{90}+\frac{1}{60}+\frac{1}{180})V_{nb}-\frac{1}{60}V_{nc}=0 (b点KCL)\ -\frac{1}{60}V_{nb}+(\frac{1}{90}+\frac{1}{60})V_{nc}=-i (c点KCL)\ V_{na}-V_{nc}=30i_x (受控源列方程)\ i_x=\frac{1}{90}(V_{na}-V_{nb})(i_x的表示 ) \end{cases} $$ 解得: \(\Large V_{na}=135V,V_{nb}=108V,V_{nc}=126V,i=-1.7A,i_x=0.3A\)
方法2: $$ \Large \begin{cases} \frac{1}{90}V_{na}-(\frac{1}{90}+\frac{1}{60})V_{nb}+(\frac{1}{90}+\frac{1}{60})V_{nc}=2 \ 对点b:-\frac{1}{90}V_{na}+(\frac{1}{90}+\frac{1}{60}+\frac{1}{180})V_{nb}-\frac{1}{60}V_{nc}=0 \ 另外,V_{na}-V_{nc}=30i_x=\frac{30}{90}(V_{na}-V_{nb}) \end{cases} $$
$$ ⇒ \Large \begin{cases} 2V_{na}-5V_{nb}+5V_{nc}=360 \ -2V_{na}+6V_{nb}-3V_{nc}=0 \ 2V_{na}+V_{nb}-3V_{nc}=0 \end{cases} ⇒ \Large \left( \begin{matrix} 2 & -5 & 5 \ -2 & 6 & -3 \ 2 & 1 & -3 \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} V_{na} \ V_{nb} \ V_{nc} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 360 \ 0 \ 0 \end{matrix} \right) $$
解得: $$ \Large \left( \begin{matrix} V_{na} \ V_{nb} \ V_{nc} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 135 \ 108 \ 126 \end{matrix} \right)V,i_x = 0.3 $$
列出图示电路的节点电压方程,并求 \(I\)
独立源 ⇒ \(supernode\)
考虑到独立电压源的存在,将独立电压源及上方节点看做一个 \(supernode\)
记 \(supernode\) 上、下方电压分别为 \(v_a\) 和 \(v_b\)
以底端节点为参考节点,\(supernode\) 右侧的两个节点分别标记为 \(v_1\) 和 \(v_2\)
列节点电压方程如下:
\(\Large \begin{cases} \frac{v_a-v_2}{10}+\frac{v_a-v_1}{5}+\frac{v_b}{5}=0 \\ \frac{v_1-v_a}{5}+\frac{v_1-v_2}{4}+\frac{v_1}{20}=0 \\ v_2=15I \end{cases}\)
增补方程 \(\Large v_a-v_b=25\) ,\(\Large I=\frac{v_1}{20}\)
联立解得:
\(\Large v_a=\frac{1250}{81}{\rm V}\)
\(\Large v_b=\frac{-775}{81}{\rm V}\)
\(\Large v_1=\frac{800}{81}{\rm V}\)
\(\Large v_2=\frac{600}{81}{\rm V}\)
\(\Large I=\frac{40}{81}{\rm A}\)
下图所示电路中,电压U为 ________
A. \(4V\)
B. \(5V\)
C. \(6V\)
D. \(3V\)
C
只考虑\(6V\)时,电流源开路,\(U= 1V\)
只考虑\(6A\)时,\(5\Omega\)和\(1\Omega\)并联,\(U\)为\(5V\)
故总的\(U\)为\(1+5=6V\)
将下图 (a) 电路等效为图 (b) 电路,可求得输出端短路电流 \(I\) = ________
\(-0.5A\)
开路电压:\(\frac{-4}{15}V\),等效电阻:\(\frac{-8}{15}\ohm\)
所以短路电流为 \(-0.5\) A
求下图所示电路的戴维南等效电路
(1) 首先求开路电压 \(v_{OC}\) 。采用节点分析法来求解
$$ \Large \begin{cases} (\frac{1}{1}+\frac{1}{2})v_{OC}-\frac{1}{1}×v_{n2}-\frac{1}{2}×v_{n3}=\frac{3}{4}v_{OC} \ -(\frac{1}{1}+\frac{1}{2})v_{OC}+(\frac{1}{1}+\frac{1}{1})v_{n2}+(\frac{1}{1}+\frac{1}{2})v_{n3}=0 \ v_{n2}-v_{n3}=1 \end{cases} $$ 解得: \(\Large v_{OC}=\frac{4}{3}V≈1.33V\)
(2) 然后求等效电阻 \(R_o\)
在端口施加一电压 \(v\) ,独立电压源短路,与受控电流源串联的电阻可以视为短路,得到:
则 \(\Large i=0.75v+\frac{-v}{1Ω||2Ω+1Ω||1Ω}=0.75v+\frac{-v}{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}⇒v=-\frac{28}{3}i\)
\(\Large R_o=-\frac{v}{i}=\frac{28}{3}Ω≈9.33Ω\)
因此,原电路的戴维南等效电路如下所示:
如下图所示电路,当 \(R_x=20Ω\) 时,求电流 \(I_x\)
求出 \(I_x\) 所在支路之外电路的戴维宁等效电路。 $$ \Large \begin{cases} u_{oc}=\frac{6}{3+6}×18-\frac{3}{3+6}×18=6V \ R_{eq}=\frac{3×6}{3+6}+\frac{6×3}{6+3}=4Ω \ ∴I_x=\frac{U_{oc}}{R_{eq}+20}=\frac{6}{4+20}=0.25A \end{cases} $$ 等效电路:
求下图中,ab端所见的戴维南等效电路
计算并画出下图所示电路的戴维南等效电路
首先,根据==\(Y-\Delta\) 变换关系==,且为了方便 \(I\)计算,将\(10\Omega\) 转化为\(\frac{10}{3}\Omega\),再与 \(5\Omega\) 并联,得到:\({Z_Y}^{'}=2{\rm \Omega}\)
整理得到变换后的电路图如下所示:
求开路电压 \(\Large v_{oc}\)
由流经 \(\Large R_4\) 的电流为 \(\Large I\),可以得到节点2电压为 \(\Large v_2=2I\)
因此,流经 \(\Large R_3\)、\(\Large R_5\) 的电流为 \(\Large 0.5I\)
流经 \(\Large R_2\) 的电流为 \(\Large I+0.5I=1.5I\);方向由左至右
节点1处由 \(KCL\) 可得,流经 \(\Large R_1\) 的电流为 \(\Large 0.5I\),方向由左至右
列网孔电流方程有:
\(\Large R_1 \times 0.5I+R_2 \times 1.5I + R_4 \times I = 8{\rm V}\),代入解得:\(\Large I=1{\rm A}\)
开路电压 \(\Large v_{oc}=R_5 \times 0.5I=1{\rm V}\)
求等效电阻 \(\Large R_o\)
在端口施加一电压 \(\Large v=1{\rm V}\),独立电压源短路
则 \(\Large v_3=1{\rm V}\),\(\Large v_2=2I\)
\(\Large I_{R_5}=\frac{v_3}{R_5}=0.5{\rm A}\),方向由上至下
\(\Large I_{R_3}=\frac{v_3-v_2}{R_3}=\frac{1-2I}{2}=0.5-I\),方向由右至左
\(\Large I_{R_2}=I_{R_3}-I_{R_4}=0.5-2I\),方向由右至左
\(\Large I_{R_1}=I_{R_2}+I=0.5-I\),方向由右至左
根据 \(\Large v_2=I_{R_2}R_2+I_{R_1}R_1=IR_4\) 代入得到:
\(\Large 2 \times (0.5-2I)+6 \times (0.5-I)=2 \times I\)
解得:\(\Large I=\frac{1}{3}{\rm A}\)
因此,\(\Large I_o=I_{R_3}+I_{R_5}=(0.5-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}{\rm A}\),\(\Large R_o=\frac{v}{I_o}=1.5{\rm \Omega}\)
画出戴维南等效电路如下
求下列电路\(ab\)端口的诺顿等效电路
主要是知道一下诺顿等效怎么求
下列电路中,\(R_L\)取什么值时可以获得最大功率传输,并计算该最大功率
动态电路的时域分析部分¶
省流¶
- 零输入\(RC\)电路
- \(\Large \tau=RC\)
- \(R\)为\(C\)两端的等效电阻(即戴维南电阻)
- \(V_{0}\)为\(0+\)时刻电容两端的初始电压
- 零输入\(RL\)电路
- \(\Large \tau=\frac{L}{R}\)
- \(R\)为\(L\)两端的等效电阻(即戴维南电阻)
-
$ I_{0}\(为\)0+$时刻流经电感的初始电流I
-
\(RC\)电路的直流响应
$$ \Large i_{c}=\frac{V_{s}}{R}e^{-\frac{t}{\tau}} $$ * \(\Large \tau=RC\) * \(V_{S}\)电压源电压
[!TIP]
- \(RL\)电路的直流响应
$$ \Large v_{L}=V_{s}e^{-\frac{t}{\tau}} $$ * \(\Large \tau=\frac{L}{R}\) * \(V_{S}\)电压源电压 [!TIP]
- 一阶电路的全响应
- \(v_{c}(0+)=V_{0}\)
- \(\Large \tau=RC\)
- \(V_{S}\)电压源电压
也可写作: $$ \Large v_{c}=V_{s}(1-e{-\frac{t}{\tau}})+V_{0}e $$ 其中 $$ \Large V_{s}(1-e^{-\frac{t}{\tau}}) $$ 为}{\tau}零状态响应 $$ \Large V_{0}e^{-\frac{t}{\tau}} $$ 为零输入响应
- 一阶电路的三要素法
直流激励时: $$ \Large f'(t)=f'(0_{+})=f(\infty ) $$
- \(\Large f(\infty)\)稳态解(用\(t\longrightarrow \infty\)的稳态电路求解)
-
\(\Large f(0_{+})\)初始解(用\(0_{+}\)等效电路求解)
-
\(RC\)阶跃响应总结
- 若电路是在\(\Large t=t_{0}\)时刻切换
- \(RL\)阶跃响应总结
- 若电路是在\(\Large t=t_{0}\)时刻切换
核心知识要点¶
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动态电路和过渡过程的概念
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电感、电容的“电压电流约束关系”与时间 t 有关,所以电感、电容又称为动态元件,含电感、电容的电路也被称为动态电路
-
动态电路的一个特征是:当电路结构发生变化时(一般通过“开关”的切换来实现),可能使电路从原来的工作状态,转变到一个新的工作状态,这种转变往往需要一定的时间,这一过程被称为动态电路的过渡过程
-
开关切换的动作也被称为“换路”,一般认为换路是在 \(t=0\) 时刻进行的,把换路前的最终时刻记为 \(t = 0^-\),把换路后的最初时刻记为 \(t = 0^+\)
-
分析动态电路的方法:根据\(KCL\)、\(KVL\)、元件的电压电流约束关系,写出微分方程,并求解;这一方法在时域中进行,称为经典解法
-
* 一阶电路:化简后的电路仅含一个储能元件
* 解一阶微分方程需要知道变量初始值
* $0^+$ 时刻的电路状态由 $0^-$ 时刻的电路状态获得,且基于
* 电感电流不能突变
* 电容电压不能突变
* 一阶电路的衰减常数:$\Large \tau = RC$, 或 $\Large \tau = \frac{L}{R}$
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零输入响应、零状态响应、全响应及其分解方式、三要素法分析;
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输入==指 \(\Large t = 0^+\) 时刻,电路中==有无电源
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状态==指 \(\Large t = 0^+\) 时刻,电路中的==储能元件有无初始储能
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零输入响应:无外加激励电源(零输入),仅由动态元件初始储能所产生的响应
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零状态响应:动态元件初始储能为零(零状态),由外加激励电源引起的响应
-
实际情况往往是\(t = 0^+\) 时刻==电源和初始储能都有的==,即==全响应==
-
-
三要素法:初始值、稳态值、时间常数
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初始与稳态的差值随时间常数的指数衰减,所以 $$ \Large v(t) = v(\infty) + [v(t_0) - v(\infty)] \cdot e^{-(t - t_0)/\tau} $$
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二阶电路的响应
-
二阶电路:化简后的电路含两个储能元件
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解二阶微分方程需要知道变量初始值,以及变量导数的初始值
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focus on 不能突变的量,即电感电流、电容电压,寻找变量初始值
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变量导数的初始值由元件的外围电路决定
- 如电感,求电流导数的初始值,因 \(\Large v = L \frac{di}{dt}\) ,需经由电感两端电压初始值获得
- 如电容,求电压导数的初始值,因 \(\Large i = C \frac{dv}{dt}\),需经由流经电容电流初始值获得
-
-
求解二阶微分方程,即获得二阶电路的解
- step 1: 求变量及变量导数的初始值
- step 2: 求微分方程的特解,即变量的稳态响应 \(x_{ss}(t) = x(\infty)\)
- step 3: \(0^+\) 时刻,turn off 独立源,求齐次微分方程的通解,即变量的瞬态响应 \(x_t(t)\)
- step 4: 写出非齐次微分方程的通解,即稳态响应和瞬态响应相加 \(x(t) = x_t(t) + x_{ss}(t)\)
- step 5: 结合初始条件,求待定系数
-
对于串联 RLC、并联 RLC 这两种特殊的二阶电路,可根据衰减常数和谐振频率直接写出解的表达式
-
衰减常数,对于串联 \(RLC\),\(\alpha = \frac{R}{2L}\) ;对于并联 \(RLC\),\(\alpha = \frac{1}{2RC}\)
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谐振频率,\(\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\)
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典型的二阶电路有过阻尼(\(\alpha > \omega_0\))、临界阻尼(\(\alpha = \omega_0\))、欠阻尼(\(\alpha < \omega_0\))三个 cases;临界阻尼衰减最快;以下以电容电压为例
-
-
Q:选取电感电流还是电容电压作为变量?A:都可以
- 有激励时,取激励的量比较方便(即稳态时容易获得的是电压量还是电流量)
- 无激励时,并联取电压比较方便,串联取电流比较方便
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阶跃响应、冲激响应。
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单位斜坡函数是单位阶跃函数的积分
- 单位冲激函数是单位阶跃函数的导数
- 一阶电路:单位冲激响应可当作电容两端初始电压为1/C (或流经电感的初始电流为1/L)的零输入响应来处理
- 二阶电路:冲激响应可以按阶跃激励的一阶导数求得
题目精选¶
求下左图所示电路中电流 \(i_c(t)\) ,独立电压源的伏安特性曲线见下右图。
对左侧电路进行戴维南等效,化简电路图如下所示:
\[ \Large v_s=10ε(t)-10ε(t-0.5) \]\[ \Large τ=RC=5×10^{3}×100×10^{-6}=0.5s \]该电路的单位阶跃响应为 $$ \Large v_C(t)=(1-e^{-2t})ε(t) $$
\[ \Large i_C=C\frac{dv_C}{dt}=\frac{1}{5}e^{-2t}ε(t)(mA) \]由齐次性和叠加性得实际响应为: $$ \Large i_C=5×[\frac{1}{5}e{-2t}ε(t)-\frac{1}{5}eε(t-0.5)]=e{-2t}ε(t)-eε(t-0.5)(mA) $$
另外,也可以分段表示结果:
\(0<t<0.5,ε(t)=1,ε(t-0.5)=0\) $$ \Large i_C=e^{-2t}(mA) $$ \(t>0.5,ε(t)=1,ε(t-0.5)=1\) $$ \Large i_C=e{-2t}-e=e{-2(t-0.5)}(e(mA) $$ }-1)=-0.632e^{-2(t-0.5)
如下图所示电路,在 t = 0 时刻前,开关 S 在位置 1 时电路已达到稳定状态,t = 0 时开关由位置 1 向位置 2闭合,求 t ≥ 0 时的电压 \(v_L\)
开关在 1 位置时,\(\Large i_L(0^-)=-4A\)
\(0^+\) 时刻之后,将电感以外电路进行==戴维南等效==,求得:\(\Large v_{oc}=12V,R_{eq}=10Ω\)
时间常数为 \(\Large τ=\frac{L}{R_{eq}}=0.01s\)
边界条件为 \(\Large i_L(0^+)=i_L(0^-)=-4A,i_L(∞)=\frac{v_{oc}}{R_{eq}}=1.2A\)
应用==三要素法==,得到:
\(\Large i_L(t)=1.2+(-4-1.2)e^{-\frac{1}{0.01}t}=(1.2-5.2e^{-100t})A\)
\(\Large v_L(t)=L\frac{di_L}{dt}=52e^{-100t}V\)
如图所示,若电感的初始电流 \(i(0)=12{\rm A}\),求 \(t>0\) 时刻的 \(i(t)\) 和 \(v_x(t)\)
初始条件 \(\Large i(0^+)=12{\rm A}\)
边界条件 \(\Large i(\infty)=0\)
对除了电感外的部分电路外施加电压 \(U\) 求等效电阻:
\(\Large \frac{U-v_x}{6}+\frac{U-v_x-2v_x}{2}=\frac{v_x}{1}\)
不妨取 \(\Large U=1{\rm V}\),得:\(\Large v_x=0.25{\rm V}\)
\(\Large R_{eq}=\frac{U}{I}=\frac{1}{\frac{0.25}{1}}=4{\rm \Omega}\)
\(\Large \therefore \tau=\frac{L}{R_{eq}}=\frac{2}{4}=0.5{\rm s}\)
因此,\(\Large i(t)=i(\infty)+[i(0^+)-i(\infty)]e^{-\frac{t}{\tau}}=12e^{-2t}{\rm A}\)
\(\Large v_x(t)=-i \times 1=-12e^{-2t}{\rm A}\)
下图中,\(v(t) = 10[u(t)-u(t-2)]\) V,求 \(v_C(t)\)
下图中,求 \(t>0\) 时刻的 \(v_o(t)\)